Interpretación didáctica de la teoría de grupos aplicada en cristales

ResumenLa determinación del Hamiltoniano de una molécula o un cristal puede llegar a ser un problema muy complicado; sin embargo, las consideraciones de simetría sobre el problema pueden llegar a simplificarlo de manera sustancial. Razón por la cual, es pertinente buscar el mayor número de simetrías de un cristal. En este punto, se realza la importancia de la teoría de grupos como herramienta de cálculo, pues a través de ésta, se sintetizan todas las propiedades del cristal: las rotaciones, las inversiones y las reflexiones. Empero, el estudio realizado por muchos libros acerca de esta temática es demasiado confuso y complicado para los estudiantes de Licenciatura en Física, debido a la naturaleza abstracta del método de la teoría, y las relaciones que éste tiene con el Hamiltoniano. Lo anterior, motiva la realización de un estudio didáctico, así como detallado de los principios que rigen el uso del método. Además, se ilustra a través de un ejemplo detallado para el caso de un cristal ortorrómbico, procediendo a establecer los isomorfismos entre el álgebra utilizada en la teoría de grupos y la correspondiente representación de matrices, que permita efectuar la reducción del Hamiltoniano y los cálculos correspondientes.Palabras clave: Simetría, Hamiltoniano, Teoría de grupos.AbstractThe determination of the Hamiltonian of a molecule or a crystal can become a very complicated problem. However, considerations of symmetry of the problem may make it simpler. Therefore it is relevant seek the greatest number of symmetries of a crystal. At this point, it highlights the importance of group theory as a tool for calculation, then, through it synthesizes all of these properties of the crystal, like the rotations, inversions and reflections. However, the study present in many books on this subject is too confusing and complicated for the students of Bachelor in Physics, because of the abstract nature of theoretical method and the relationship it has with the Hamiltonian. This one motivates the realization of a didactic study, as well as detailed principles governing the use of the method. Also, a detailed example is present for the case of an orthorhombic crystal, proceeding to establish the isomorphism between the algebra used in group theory and the corresponding matrix representation, permitting a reduction in the Hamiltonian and the calculations.Keywords: Symmetry, Hamiltonian, Group TheoryResumoA determinação do Hamiltoniano de uma molécula ou cristal pode se tornar um problema muito complicado; No entanto, considerações de simetria sobre o problema podem simplificá-lo substancialmente. Pelo que, é pertinente procurar o maior número de simetrias de um cristal. Nesse ponto, enfatiza-se a importância da teoria dos grupos como ferramenta de cálculo, pois através dela todas as propriedades do cristal são sintetizadas: rotações, inversões e reflexões. No entanto, o estudo de muitos livros sobre este assunto é muito confuso e complicado para os estudantes de graduação em Física, por causa da natureza abstrata do método da teoria, e a relação que tem com o hamiltoniano. O exposto, motiva a realização de um estudo didático, bem como detalha os princípios que regem o uso do método. Além disso, é ilustrada através de um processo detalhado de um cristal ortorrômbico, prosseguir para estabelecer a isomorfismo entre álgebra utilizado na teoria de grupos e a representação correspondente de matrizes, permitindo a redução do exemplo Hamiltoniano e cálculos.Palabras chave: Simetria, hamiltoniana, teoria dos grupos

On the existence of a Hofer type metric for Poisson manifolds

An analogue of the Hofer metric [Formula: see text] on the Hamiltonian group [Formula: see text] of a Poisson manifold [Formula: see text] can be defined, but there is the problem of its nondegeneracy. First, we observe that [Formula: see text] is a genuine metric on [Formula: see text], when the union of all proper leaves of the corresponding symplectic foliation is dense. Next, we deal with the important class of integrable Poisson manifolds. Recall that a Poisson manifold is called integrable, if it can be realized as the space of units of a symplectic groupoid. Our main result states that [Formula: see text] is a Hofer type metric for every Poisson manifold, which admits a Hausdorff integration.

2-PLECTIC MANIFOLDS AND ITS RELATION WITH COURANT ALGEBROIDS

In this paper we study the relation between 2-plectic manifolds and Courant algebroids. We establish a relation between 2-Lagrangian submanifolds of 2-plectic manifolds and subbundles of Courant algebroids. Also we show that an action of a compact Lie group G on a 2-plectic manifold (M, ω) can be extended to an action of G on an exact Courant algebroid E over M if and only if G is a subgroup of Hamiltonian group of (M, ω).

Characteristic Number Associated to Mass Linear Pairs

Let Δ be a Delzant polytope in ℝn and b∈ℤn. Let E denote the symplectic fibration over S2 determined by the pair (Δ,b). Under certain hypotheses, we prove the equivalence between the fact that (Δ,b) is a mass linear pair (McDuff and Tolman, 2010) and the vanishing of a characteristic number of E. Denoting by Ham(MΔ), the Hamiltonian group of the symplectic manifold defined by Δ, we determine loops in Ham(MΔ) that define infinite cyclic subgroups in π1(Ham(MΔ)) when Δ satisfies any of the following conditions: (i) it is the trapezium associated with a Hirzebruch sur-face, (ii) it is a Δp bundle over Δ1, and (iii) Δ is the truncated simplex associated with the one point blowup of ℂPn.