Crossing antisymmetric Polyakov blocks + dispersion relation

Many CFT problems, e.g. ones with global symmetries, have correlation functions with a crossing antisymmetric sector. We show that such a crossing antisymmetric function can be expanded in terms of manifestly crossing antisymmetric objects, which we call the ‘+ type Polyakov blocks’. These blocks are built from AdSd+1 Witten diagrams. In 1d they encode the ‘+ type’ analytic functionals which act on crossing antisymmetric functions. In general d we establish this Witten diagram basis from a crossing antisymmetric dispersion relation in Mellin space. Analogous to the crossing symmetric case, the dispersion relation imposes a set of independent ‘locality constraints’ in addition to the usual CFT sum rules given by the ‘Polyakov conditions’. We use the Polyakov blocks to simplify more general analytic functionals in d > 1 and global symmetry functionals.

Charging up the functional bootstrap

We revisit the problem of bootstrapping CFT correlators of charged fields. After discussing in detail how bounds for uncharged fields can be recycled to the charged case, we introduce two sets of analytic functional bases for correlators on the line. The first, which we call “simple”, is essentially a direct sum of analytic functionals for the uncharged case. We use it to establish very general bounds on the OPE density appearing in charged correlators. The second basis is dual to generalized free fields and we explain how it is related to a charged version of the Polyakov bootstrap. We apply these functionals to map out the space of correlators and obtain new improved bounds on the 3d Ising twist defect.

Algebras of Analytic Functionals and the Generalized Duhamel Product

Пусть $\Omega$ - односвязная область в комплексной плоскости, содержащая начало; $H(\Omega)$ - пространство Фреше всех голоморфных в $\Omega$ функций. Голоморфная в $\Omega$ функция $g_0$ такая, что $g_0(0)=1$, задает линейный непрерывный в $H(\Omega)$ оператор Поммье. Он является одномерным возмущением оператора обратного сдвига и совпадает с ним, если $g_0$ является тождественной единицей. Его коммутант в кольце всех линейных непрерывных операторов в $H(\Omega)$ изоморфен алгебре, образованной сопряженным $H(\Omega)'$ к $H(\Omega)$ с умножением, определяемым операторами сдвига для оператора Поммье по правилу свертки. Показано, что эта алгебра является унитальной ассоциативной, коммутативной и топологической. Исследуются ее реализации, полученные с помощью преобразований Лапласа и Коши. Основное внимание уделено реализации посредством преобразования Лапласа. Оно приводит к изоморфной алгебре, образованной некоторым пространством $P_\Omega$ целых функций экспоненциального типа. Умножение $\ast$ в ней является обобщенным произведения Дюамеля. Если $g_0$ является тождественной единицей, то это умножение является обычным произведением Дюамеля. Обобщенное произведение Дюамеля задается операторами свертки, определяемыми посредством исходной функции $g_0$. В случае преобразования Коши (для функции $g_0$, равной тождественной единице) реализацией $H(\Omega)'$ является пространство ростков всех функций, голоморных на дополнении $\Omega$ до расширенной комплексной плоскости и равных нулю в бесконечности, с умножением, противоположным обычному произведению функций и независимой переменной. Получено описание всех собственных замкнутых идеалов $(P_\Omega,\ast)$. Оно основывается на данном ранее авторами описании всех собственных замкнутых $D_{0,g_0}$-инвариантных подпространств $H(\Omega)$. Множество всех собственных замкнутых идеалов $(P_\Omega,\ast)$ состоит из двух семейств. Одно содержит конечномерные идеалы, задаваемые подмножествами нулевого многообразия функции $g_0$. Другое содержит бесконечномерные идеалы, определяемые, в частности, конечным числом точек вне $\Omega$. Ранее аналогичная задача была решена авторами в двойственной ситуации, именно, для алгебры ростков всех функций, голоморфных на выпуклом локально замкнутом множестве в комплексной плоскости. При этом рассматривалась функция $g_0$, являющаяся произведением многочлена и экспоненты.

On an Algebra of Analytic Functionals Connected with a Pommiez Operator

Изучены свойства сверточной алгебры, образованной топологическим сопряженным к некоторому (LF)-пространству целых функций одного комплексного переменного с введенным на нем умножением-сверткой. Это умножение определено с помощью оператора сдвига для оператора Поммье.