scholarly journals Linear coefficients of Kerov's polynomials: bijective proof and refinement of Zagier's result

2010 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AN,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Valentin Féray ◽  
Ekaterina A. Vassilieva
Keyword(s):  
Stirling Numbers ◽  
Algebraic Methods ◽  
Combinatorial Proof ◽  
Nous Obtenons ◽  
Long Cycle ◽  
Bijective Proof ◽  
International Audience

International audience We look at the number of permutations $\beta$ of $[N]$ with $m$ cycles such that $(1 2 \ldots N) \beta^{-1}$ is a long cycle. These numbers appear as coefficients of linear monomials in Kerov's and Stanley's character polynomials. D. Zagier, using algebraic methods, found an unexpected connection with Stirling numbers of size $N+1$. We present the first combinatorial proof of his result, introducing a new bijection between partitioned maps and thorn trees. Moreover, we obtain a finer result, which takes the type of the permutations into account. Nous étudions le nombre de permutations $\beta$ de $[N]$ avec $m$ cycles telles que $(1 2 \ldots N) \beta^{-1}$ a un seul cycle. Ces nombres apparaissent en tant que coefficients des monômes linéaires des polynômes de Kerov et de Stanley. À l'aide de méthodes algébriques, D. Zagier a trouvé une connexion inattendue avec les nombres de Stirling de taille $N+1$. Nous présentons ici la première preuve combinatoire de son résultat, en introduisant une nouvelle bijection entre des cartes partitionnées et des arbres épineux. De plus, nous obtenons un résultat plus fin, prenant en compte le type des permutations.

scholarly journals Some combinatorial identities involving noncommuting variables

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Michael Schlosser ◽  
Meesue Yoo
Keyword(s):  
Functional Equations ◽  
Stirling Numbers ◽  
Combinatorial Identities ◽  
Weight Functions ◽  
Nous Proposons ◽  
Nous Obtenons ◽  
Exponential Functions ◽  
Rook Theory ◽  
International Audience ◽  
Nous Utilisons

International audience We derive combinatorial identities for variables satisfying specific sets of commutation relations. The identities thus obtained extend corresponding ones for $q$-commuting variables $x$ and $y$ satisfying $yx=qxy$. In particular, we obtain weight-dependent binomial theorems, functional equations for generalized exponential functions, we propose a derivative of noncommuting variables, and finally utilize one of the considered weight functions to extend rook theory. This leads us to an extension of the $q$-Stirling numbers of the second kind, and of the $q$-Lah numbers. Nous obtenons des identités combinatoires pour des variables satisfaisant des ensembles spécifiques de relations de commutation. Ces identités ainsi obtenues généralisent leurs analogues pour des variables $q$-commutantes $x$ et $y$ satisfaisant $yx=qxy$. En particulier, nous obtenons des théorèmes binomiaux dépendant du poids, des équations fonctionnelles pour les fonctions exponentielles généralisées, nous proposons une dérivée des variables non-commutatives, et finalement nous utilisons l’une des fonctions de poids considérées pour étendre la théorie des tours. Nous en déduisons une généralisation des $q$-nombres de Stirling de seconde espèce et des $q$-nombres de Lah.

scholarly journals A simple model of trees for unicellular maps

2012 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AR,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Guillaume Chapuy ◽  
Valentin Feray ◽  
Eric Fusy
Keyword(s):  
Simple Model ◽  
Symmetric Group ◽  
Recurrence Formula ◽  
Nous Obtenons ◽  
Plane Tree ◽  
Simple Description ◽  
Irreducible Characters ◽  
Bijective Proof ◽  
International Audience ◽  
Fixed Genus

International audience We consider unicellular maps, or polygon gluings, of fixed genus. In FPSAC '09 the first author gave a recursive bijection transforming unicellular maps into trees, explaining the presence of Catalan numbers in counting formulas for these objects. In this paper, we give another bijection that explicitly describes the ``recursive part'' of the first bijection. As a result we obtain a very simple description of unicellular maps as pairs made by a plane tree and a permutation-like structure. All the previously known formulas follow as an immediate corollary or easy exercise, thus giving a bijective proof for each of them, in a unified way. For some of these formulas, this is the first bijective proof, e.g. the Harer-Zagier recurrence formula, or the Lehman-Walsh/Goupil-Schaeffer formulas. Thanks to previous work of the second author this also leads us to a new expression for Stanley character polynomials, which evaluate irreducible characters of the symmetric group. Nous considèrons des cartes orientèes à une face de genre fixé. à SFCA'09 le premier auteur a introduit une bijection rècursive envoyant une carte unicellulaire vers un arbre, ce qui permet d'obtenir des formules ènumèratives pour les cartes à une face (et en particulier la prèsence des nombres de Catalan). Dans l'article ici prèsent, et en nous appuyant sur la bijection ci-dessus, nous obtenons une incarnation très simple des cartes à une face comme des paires formèes d'un arbre plan et d'une permutation d'un certain type. Toutes les formules prècèdemment connues dècoulent aisèment de cette nouvelle incarnation, donnant des preuves bijectives dans un cadre unifié. Pour certaines de ces formules, telles que la rècurrence de Harer-Zagier ou les formules de Lehman-Walsh/Goupil-Schaeffer, nous obtenons la première preuve bijective connue. Par ailleurs, en combinant notre approche avec des travaux du second auteur, nous obtenons une nouvelle expression pour les polynômes de Stanley qui donnent certaines èvaluations des caractères du groupe symètrique.

scholarly journals Two bijections on Tamari Intervals

2014 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Frédéric Chapoton ◽  
Gregory Chatel ◽  
Viviane Pons
Keyword(s):  
Combinatorial Proof ◽  
Nous Obtenons ◽  
Combinatorial Object ◽  
Combinatorial Objects ◽  
Tamari Lattice ◽  
Initial Rise ◽  
International Audience ◽  
Nous Utilisons

International audience We use a recently introduced combinatorial object, the $\textit{interval-poset}$, to describe two bijections on intervals of the Tamari lattice. Both bijections give a combinatorial proof of some previously known results. The first one is an inner bijection between Tamari intervals that exchanges the $\textit{initial rise}$ and $\textit{lower contacts}$ statistics. Those were introduced by Bousquet-Mélou, Fusy, and Préville-Ratelle who proved they were symmetrically distributed but had no combinatorial explanation. The second bijection sends a Tamari interval to a closed flow of an ordered forest. These combinatorial objects were studied by Chapoton in the context of the Pre-Lie operad and the connection with the Tamari order was still unclear. Nous utilisons les $\textit{intervalles-posets}$, très récemment introduits, pour décrire deux bijections sur les intervalles du treillis de Tamari. Nous obtenons ainsi des preuves combinatoires de précédents résultats. La première bijection est une opération interne sur les intervalles qui échange les statistiques de la $\textit{montée initiale}$ et du $\textit{nombre de contacts}$. Ces dernières ont été introduites par Bousquet-Mélou, Fusy et Préville-Ratelle qui ont prouvé qu’elles étaient symétriquement distribuées sans pour autant proposer d’explication combinatoire. La seconde bijection fait le lien avec un objet étudié par Chapoton dans le cadre de l’opérade Pré-Lie : les flots sur les forêts ordonnées. Le lien avec l’ordre de Tamari avait déjà été remarqué sans pour autant être expliqué.

scholarly journals A direct bijective proof of the hook-length formula

1997 ◽  
Vol Vol. 1 ◽  
Author(s):  
Jean-Christophe Novelli ◽  
Igor Pak ◽  
Alexander V. Stoyanovskii
Keyword(s):  
Young Tableaux ◽  
Hook Length ◽  
Bijective Proof ◽  
International Audience ◽  
Standard Young Tableaux

International audience This paper presents a new proof of the hook-length formula, which computes the number of standard Young tableaux of a given shape. After recalling the basic definitions, we present two inverse algorithms giving the desired bijection. The next part of the paper presents the proof of the bijectivity of our construction. The paper concludes with some examples.

scholarly journals Enumerating alternating tree families

2008 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AJ,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Markus Kuba ◽  
Alois Panholzer
Keyword(s):  
Nous Obtenons ◽  
Asymptotic Results ◽  
Root Node ◽  
Ordered Trees ◽  
Exponential Generating Function ◽  
Random Node ◽  
Enumeration Problems ◽  
International Audience ◽  
Nous Examinons ◽  
Labelled Trees

International audience We study two enumeration problems for $\textit{up-down alternating trees}$, i.e., rooted labelled trees $T$, where the labels $ v_1, v_2, v_3, \ldots$ on every path starting at the root of $T$ satisfy $v_1 < v_2 > v_3 < v_4 > \cdots$. First we consider various tree families of interest in combinatorics (such as unordered, ordered, $d$-ary and Motzkin trees) and study the number $T_n$ of different up-down alternating labelled trees of size $n$. We obtain for all tree families considered an implicit characterization of the exponential generating function $T(z)$ leading to asymptotic results of the coefficients $T_n$ for various tree families. Second we consider the particular family of up-down alternating labelled ordered trees and study the influence of such an alternating labelling to the average shape of the trees by analyzing the parameters $\textit{label of the root node}$, $\textit{degree of the root node}$ and $\textit{depth of a random node}$ in a random tree of size $n$. This leads to exact enumeration results and limiting distribution results. Nous étudions deux problèmes de dénombrement d'$\textit{arbres alternés haut-bas}$ : par définition, ce sont des arbres munis d'une racine et tels que, pour tout chemin partant de la racine, les valeurs $v_1,v_2,v_3,\ldots$ associées aux nœuds du chemin satisfont la chaîne d'inégalités $v_1 < v_2 > v_3 < v_4 > \cdots$. D'une part, nous considérons diverses familles d'arbres intéressantes du point de vue de l'analyse combinatoire (comme les arbres de Motzkin, les arbres non ordonnés, ordonnés et $d$-aires) et nous étudions pour chaque famille le nombre total $T_n$ d'arbres alternés haut-bas de taille $n$. Nous obtenons pour toutes les familles d'arbres considérées une caractérisation implicite de la fonction génératrice exponentielle $T(z)$. Cette caractérisation nous renseigne sur le comportement asymptotique des coefficients $T_n$ de plusieurs familles d'arbres. D'autre part, nous examinons le cas particulier de la famille des arbres ordonnés : nous étudions l'influence de l'étiquetage alterné haut-bas sur l'allure générale de ces arbres en analysant trois paramètres dans un arbre aléatoire (valeur de la racine, degré de la racine et profondeur d'un nœud aléatoire). Nous obtenons alors des résultats en terme de distribution limite, mais aussi de dénombrement exact.

scholarly journals On the 2-adic order of Stirling numbers of the second kind and their differences

2009 ◽  
Vol DMTCS Proceedings vol. AK,... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Tamás Lengyel
Keyword(s):  
Positive Integer ◽  
Stirling Numbers ◽  
Bell Polynomials ◽  
Binary Representation ◽  
Exact Order ◽  
Special Cases ◽  
International Audience ◽  
The Difference ◽  
Divisibility Properties ◽  
Positive Integers

International audience Let $n$ and $k$ be positive integers, $d(k)$ and $\nu_2(k)$ denote the number of ones in the binary representation of $k$ and the highest power of two dividing $k$, respectively. De Wannemacker recently proved for the Stirling numbers of the second kind that $\nu_2(S(2^n,k))=d(k)-1, 1\leq k \leq 2^n$. Here we prove that $\nu_2(S(c2^n,k))=d(k)-1, 1\leq k \leq 2^n$, for any positive integer $c$. We improve and extend this statement in some special cases. For the difference, we obtain lower bounds on $\nu_2(S(c2^{n+1}+u,k)-S(c2^n+u,k))$ for any nonnegative integer $u$, make a conjecture on the exact order and, for $u=0$, prove part of it when $k \leq 6$, or $k \geq 5$ and $d(k) \leq 2$. The proofs rely on congruential identities for power series and polynomials related to the Stirling numbers and Bell polynomials, and some divisibility properties.

scholarly journals COUNTING PERMUTATIONS BY NUMBERS OF EXCEDANCES, FIXED POINTS AND CYCLES

2011 ◽  
Vol 85 (3) ◽  
pp. 415-421
Author(s):  
SHI-MEI MA
Keyword(s):  
Fixed Points ◽  
Recurrence Relations ◽  
Stirling Numbers ◽  
Combinatorial Proof

AbstractIn this paper we present a combinatorial proof of an identity involving the two kinds of Stirling numbers and the numbers of permutations with prescribed numbers of excedances and cycles. Several recurrence relations related to the numbers of excedances, fixed points and cycles are also obtained.

scholarly journals A bijective proof of Macdonald's reduced word formula

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Sara Billey ◽  
Alexander Holroyd ◽  
Benjamin Young
Keyword(s):  
Reduced Word ◽  
Bijective Proof ◽  
International Audience ◽  
Principal Specialization

International audience We describe a bijective proof of Macdonald's reduced word identity using pipe dreams and Little's bumping algorithm. The proof extends to a principal specialization of the identity due to Fomin and Stanley. Our bijective tools also allow us to address a problem posed by Fomin and Kirillov from 1997, using work of Wachs, Lenart and Serrano- Stump.

scholarly journals Minimal factorizations of a cycle: a multivariate generating function

2020 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 28th... ◽  
Author(s):  
Philippe Biane ◽  
Matthieu Josuat-Vergès
Keyword(s):  
Symmetric Group ◽  
Generating Function ◽  
Simple Formula ◽  
Hook Length ◽  
Noncrossing Partitions ◽  
Long Cycle ◽  
Number Of Factors ◽  
Multivariate Generalization ◽  
International Audience

International audience It is known that the number of minimal factorizations of the long cycle in the symmetric group into a product of k cycles of given lengths has a very simple formula: it is nk−1 where n is the rank of the underlying symmetric group and k is the number of factors. In particular, this is nn−2 for transposition factorizations. The goal of this work is to prove a multivariate generalization of this result. As a byproduct, we get a multivariate analog of Postnikov's hook length formula for trees, and a refined enumeration of final chains of noncrossing partitions.

scholarly journals Negative $q$-Stirling numbers

2015 ◽  
Vol DMTCS Proceedings, 27th... (Proceedings) ◽  
Author(s):  
Yue Cai ◽  
Margaret Readdy
Keyword(s):  
Stirling Numbers ◽  
Combinatorial Argument ◽  
International Audience

International audience The notion of the negative $q$-binomial was recently introduced by Fu, Reiner, Stanton and Thiem. Mirroring the negative $q$-binomial, we show the classical $q$ -Stirling numbers of the second kind can be expressed as a pair of statistics on a subset of restricted growth words. The resulting expressions are polynomials in $q$ and $(1+q)$. We extend this enumerative result via a decomposition of the Stirling poset, as well as a homological version of Stembridge’s $q=-1$ phenomenon. A parallel enumerative, poset theoretic and homological study for the $q$-Stirling numbers of the first kind is done beginning with de Médicis and Leroux’s rook placement formulation. Letting $t=1+q$ we give a bijective combinatorial argument à la Viennot showing the $(q; t)$-Stirling numbers of the first and second kind are orthogonal. La notion de la $q$-binomial négative était introduite par Fu, Reiner, Stanton et Thiem. Réfléchissant la $q$-binomial négative, nous démontrons que les classiques $q$-nombres de Stirling de deuxième espèce peuvent être exprimés comme une paire de statistiques sur un sous-ensemble des mots de croissance restreinte. Les expressions résultantes sont les polynômes en $q$ et $1+q$. Nous étendons ce résultat énumératif via une décomposition du poset de Stirling, ainsi que d’une version homologique du $q=-1$ phénomène de Stembridge. Un parallèle énumératif, poset théorique et étude homologique des $q$-nombres de Stirling de première espèce se fait en commençant par la formulation du placement des tours par suite des auteurs de Médicis et Leroux. On laisse $t=1+q$ et on donne les arguments combinatoires et bijectifs à la Viennot qui démontrent que les $(q;t)$-nombres de Stirling de première et deuxième espèces sont orthogonaux.

Sign in / Sign up

Export Citation Format

Share Document