Calculating Complete Lists of Belyi Pairs

Belyi pairs constitute an important element of the program developed by Alexander Grothendieck in 1972–1984. This program related seemingly distant domains of mathematics; in the case of Belyi pairs, such domains are two-dimensional combinatorial topology and one-dimensional arithmetic geometry. The paper contains an account of some computer-assisted calculations of Belyi pairs with fixed discrete invariants. We present three complete lists of polynomial-like Belyi pairs: (1) of genus 2 and (minimal possible) degree 5; (2) clean ones of genus 1 and degree 8; and (3) clean ones of genus 2 and degree 8. The explanation of some phenomena we encounter in these calculations will hopefully stimulate further development of the dessins d’enfants theory.

Dessins d’enfants, Seiberg-Witten curves and conformal blocks

We show how to map Grothendieck’s dessins d’enfants to algebraic curves as Seiberg-Witten curves, then use the mirror map and the AGT map to obtain the corresponding 4d $$ \mathcal{N} $$ N = 2 supersymmetric instanton partition functions and 2d Virasoro conformal blocks. We explicitly demonstrate the 6 trivalent dessins with 4 punctures on the sphere. We find that the parametrizations obtained from a dessin should be related by certain duality for gauge theories. Then we will discuss that some dessins could correspond to conformal blocks satisfying certain rules in different minimal models.

Числа Гурвица, получающиеся из фейнмановских диаграмм

Для получения производящей функции чисел Гурвица самого общего вида, с произвольной базовой поверхностью и с произвольными профилями ветвления, рассмотрена матричная модель, построенная по графу на ориентированной связной поверхности $\Sigma$ без границы. Вершины этого графа, называемые звездами, являются маленькими дисками, а сам граф представляет собой "чистый детский рисунок созвездия" (clean dessins d'enfants). В сегменты границы каждого диска вставлены матрицы-источники. Их произведение определяет матрицу монодромии данной звезды, спектр которой называется спектром звезды. Поверхность $\Sigma$ состоит из склеенных карт, каждая карта отвечает произведению случайных матриц и матриц-источников. За склейки поверхности из набора карт отвечает спаривание Вика, а за вклейку листов Мeбиуса - дополнительная вставка специальной тау-функции в меру интегрирования. Матричный интеграл вычисляется как ряд Фейнмана, в котором роль констант связи играют спектральные данные звезд, а коэффициенты этого ряда и есть числа Гурвица. Они задают число накрытий поверхности $\Sigma$ (или ее расширений до поверхности Клейна, полученных вставкой листов Мeбиуса) при любом заданном наборе профилей ветвления в вершинах графа. Акцент сделан на комбинаторном описании матричного интеграла. Число Гурвица равно числу фейнмановских диаграмм определенного типа, деленному на порядок группы автоморфизмов графа.